sponsorlu bağlantılar

20 Şubat 2010 Cumartesi

Üslü İfadeler nedir - matematik testleri ve cevapları

Üslü İfadeler Yazdır E-posta
TANIM: : a bir reel gerçel sayı ve nÎZ+ olsun. a.a.a...a=an olacak şekilde, n tane a’nın çarpımı olan an e üslü ifadeler denir.
Örnek/ a) 3.3.3.3=34 b) c)
UYARI :8 a bir reel sayı ve nÎZ+ olmak üzere a+a+a+...+a = n.a olduğu için an ile n.a ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Yani an ¹ n.a dır.

Örnek / 2+2+2+2+2 = 5.2 olup aynı şekilde 2.2.2.2.2 = 25 olduğuna dikkat edilmelidir.

Not : 1-) a¹0 olmak şartıyla a0 = 1 dir.
2-) 00 = ifadesi tanımsızdır.
3-) 1n = 1 dir (nÎIR)

Örnek/ a) 80 =1 b) c) ( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir.) d) 115 =1 e) 1-15 = 1 f)


---------------Üssün Üssü--------------------
Tanım8 Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpımına eşittir. Kural

Örnek/ a) ( 52)3 = 52.3 =56 b) c)

Not / 1- şeklindeki bir yazılım ifadesi yanlıştır. Çünkü n sayısının; m nin üssümü yoksa am nin üssümü olduğu belli değildir.
2- dir. Üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir.
Örnek / olduğunu gösterin.

a) = 32.3 =36 = 729
b) = 32.2.2 = 38 =6561


Sonuç : a ve b değerlerinden yukarıda verilen eşitsizliğin doruluğu görülmüştür.







-------------------------Negatif Üs Kavramı-----------------
Tanım 8 a bir reel sayı olmak üzere dir. Benzer şekilde a¹0 ve b¹0 olmak üzere
Örnek / 5-1 + 5-2 = ?=
Örnek /



------------------------Bir Reel Sayının Üssü-------------------


Tanm8 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Kural a > 0 Þ an > 0 dır.
Örnek / a) 42 = 16 > 0 b) 4-2 = c) 40 = 1 > 0
Tanım : 1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir. Kural a <> 0

Tanım : 2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri Negatiftir.Kural a < 0 ve n bir tek sayı ise an < 0
Örnek / 1- (-4)2 = 16 > 0
Örnek / 2- (-4)3 = -64 < 0

Not 8 a > 0 ve n bir çift sayı ise (-a)n ¹ -an eşitsizliği doğrudur.

Örnek / 1- (-2)4 ¹ -24 Çünkü (-2)4 = (+16) ve –24 = -2.2.2.2= -16
Örnek / 2- (-5)3 + (-53) = (- 125) + (-125) = (-250)
Örnek / 3- (-5)4 + (-54) = (+625) + (-625) = 0
Örnek / 4- (-3)3 + (-52) + (-4)2 = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)

---------------------Üslü İfadelerde Dört İşlem-------------------

1- Toplama ve Çıkarma İşlemi

Tanım : Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir

Kural :4 a.Xn b.Xn = (a b).Xn

Örnek / 1- 5.103 + 2.103 = (5+2).103
Örnek / 1- 5.103 - 2.103 = (5-2).103

Not8 m ¹ n ise am an işlemi bu haliyle yapılamaz.
Örnek / 105 + 104 = işleminde 5 4 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır.
1.105 = 10.104
Burdan 10.104 + 1.104 = (10+1). 104
Örnek / 55 + 54 = 5.54 + 54 = (5+1). 54


2- Çarpma ve Bölme İşlemi

Tanım: Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir.

Kural 8/ 1- (a.Xm) .(b.Xn) = (a.b).Xm+n
Kural 8 2- (a.Xm) ¸ (b.Xn) = (a¸b).Xm-n veya
Örnek / (2.52 ) . (3.54) = 2.3.52+4 =6.56
Örnek / (8.36) ¸ (4.32) =
Örnek /
Örnek / 15a = 3a-2 olduğuna göre 5a nın değerini bulalım.
15a = 3a-2 = (3.5)a = şeklinde yazılırsa
15a = 3a-2 = (3.5)a =
= 3a.5a =
= 32 . 3a.5 a = 3a
= 9.5a =
= 9.5a = 1
= 5a=


------------------Üslü Denklemler--------------------

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL:8 Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.
a ¹ 0, a ¹ -1, a ¹ 1 olmak üzere am = an Þ m=n dir
ÖRNEK/ 1- 2x = 25 Þ x=5 tir.
2- 3x = 81 Þ 3x= 34 Þ x=4 tür.

3- 2x+8 = 8 olduğuna göre, x=?
2x+8 = 2x . 28 olup
2x . 28 = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 23 olup
2x . 28 = 23
2x = 23¸ 28
2x = 23-8
2x = 2-5 olup burdan x = -5 bulunur.

ÖRNEK / eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 5x+1-(2-x) = (53)x-3
5x+1-2+x= 53(x-3)
52x-1= 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)
2x-1 = 3x-9
2x –3x = -9+1
-x = -8
x = 8


2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL 8 Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
n tek sayı ve an = bn Þ a=b dir.
n çift sıyı ve an = bn Þ a=b veya a = -b dir.
ÖRNEK/ 1- x3=53Þ x=5 tir.
2- (x+7)3=(3x-11)3 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm: 3=3 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır. Burdan,
(x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalım
x+7 = 3x-11
7+11= 3x-x
18 = 2x
x =
x = 9

ÖRNEK / (2X+3)4= (X-2)4 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.

ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için
(2x+3)4= (X-2)4 Þ
2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2)
2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2
x=5 Veya 2x+x= 2-3
3x = -1
x=

KURAL 8 xn = 1 şeklinde olan denklemler.

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır.





Xn = 1 Þ




ÖRNEK / 1- 18 = 1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.
2- 50 = 1 dir. Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir.
3- (-1)6 = 1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.
4- 53x-15 = 1 ise x=?

Çözüm: 53x-15 = 1 ise
3x-15 = 0 olmalıdır,burdan
3x = 15
x = 15¸3
x =


ÖRNEK / (5x+3)7 = 1 ise x değerini hesaplayın.

ÇÖZÜM: (5x+3)7 = 17 (17=1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır.
(5x+3) = 1
5x+3 = 1
5x = 1-3
5x = -2
x =
ÖRNEK / (x+3)x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 1. DURUM..: x+3=1Þx=1-3
x=-2------(ª)
2. DURUM..: x-2=0--.--(ª)
x=2-------(ª) Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır.
3. DURUM...: X+3= -1
x=-4------(ª) Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır. O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir.
ÖRNEK / işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım.

ÇÖZÜM / = 6.10x

=3.5x




=
=2.2x
=21 . 2x
=21+x

Açılar - üçgenler - 6.sınıf matematik testleri ve cevapları

ALINTI

Uzunluk Ölçüleri - alan ölçüleri - hacim ölçüleri


Yazdır E-posta

ALINTI

Yaş Problemleri ve Çözümleri - 6. sınıf Matematik

Yaş Problemleri ve Çözümleri Yazdır E-posta
1. Yaşları 2,3 ve 4 sayıları ile orantılı olan 3 kardeşin yaşları çarpımı, yaşları toplamının 24 katıdır. Büyük kardeş kaç yaşındadır?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24


2. Üç kişinin yaşlarının ortalaması 20 dir. En büyük olan 25 yaşında olduğuna göre, ortancanın yaşı en az kaç olabilir?
(Yaşlar tamsayıyı göstermektedir)

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

3. Ali'nin yaşı, Cem ile Zeynep'in yaşları toplamının 2 katına eşittir. Ali şimdiki yaşının 4 katına geldiğinde, Cem ile Zeynep'in yaşları toplamı, Ali'nin yaşının kaç katına eşit olur?

A) 13/8 B) 2 C) 3 D) 15/7 E) 4


4. Ahmet "a" yaşında iken Mehmet "b" yaşında idi. Ahmet "c" yaşına geldiğinde Mehmet kaç yaşında olur?

A) b+a-c B) b+c-a C) c+a-b
D) a+b-2c E) c-a


5. Deniz, Figen'den 4 yaş küçüktür ve Figen Oya'dan 3 yaş büyüktür. İki yıl önce üçünün yaşları toplamı 11 olduğuna göre, Figen'in şimdiki yaşı kaçtır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6


6. Bir babanın yaşı, ikişer yıl ara ile doğmuş 3 çocuğunun yaşları toplamına eşittir. Baba 42 yaşında olduğuna göre, en büyük çocuk doğduğunda babanın yaşı kaçtı?

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30
7. Bir bisikletli 2 tam 1/2 saatte 70 kilometre yol gidiyor. Aynı yolu 3/4 saat az zamanda alabilmesi için hızını ne kadar arttırmalıdır?

A) 28 B) 16 C) 14 D) 12 E) 8


8. Bir babanın yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamının 4 katıdır. 5 yıl sonra 3 çocuk ve babanın yaşları toplamı 80 olacağına göre, baba kaç yaşındadır?

A) 40 B) 44 C) 48 D) 52 E) 56


9. Bir baba ile oğlunun şimdiki yaşları toplamı 50 dir. 5 yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katı olacağına göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır?

A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44


10. Bir baba ile iki çocuğunun yaşları toplamı 60 tır. Büyük kardeş küçüğün 3 katı ve babaları ise iki çocuğunun yaşları toplamının iki katı yaşındadır. Babanın yaşı kaçtır?

A) 48 B) 40 C) 36 D) 34 E) 32


11. İki kardeşin yaşları toplamı, yaşları farkının 3 katına eşittir. 6 yıl sonra yaşlarının toplamı, yaşlarının farkının 5 katına eşit olacağına göre, büyük olan bugün kaç yaşındadır?

A) 36 B) 18 C) 12 D) 9 E) 8

Yaş Problemleri


12. 8 yıl sonraki yaşı, 2 yıl önceki yaşının iki katı olacak olan bir çocuk kaç yaşındadır?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

13. Üç kardeşin yaşlarının ortalaması 16 dır. En küçük kardeşin yaşı, şimdiki yaşının 3 katına ulaştığında bu üç kardeşin yaşlarının ortalaması 40 olmaktadır. Buna göre en küçük kardeşin şimdiki yaşı kaçtır?

A) 19 B) 17 C) 16 D) 14 E) 12


14. İki yıl önce annenin yaşı, kızının yaşının 4 katı idi. 8 yıl sonra ise 2,5 katı olacaktır. Annenin şimdiki yaşı kaçtır?

A) 38 B) 40 C) 42 D) 45 E) 50


15. Bir anne çocuğundan 21 yaş büyüktür. 4 yıl önce annenin yaşı, çocuğunun yaşının 4 katı idi. Buna göre çocuk bugün kaç yaşındadır?

A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12


16. Bora'nın 2 yıl sonraki yaşı, Özgen'in 4 yıl önceki yaşının 5 katıdır. İkisinin bugünkü yaşları toplamı 20 ise Bora kaç yaşındadır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14


17. 3 er yıl ara ile doğan 5 kardeşin yaşları toplamı 65 ise, en küçük kardeş kaç yaşındadır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


18. Ahmet'in yaşı, Mehmet'in yaşının 2 katıdır. 10 yıl önce her ikisinin yaşları toplamı Ahmet'in şimdiki yaşına eşit olduğuna göre, Mehmet'in şimdiki yaşı kaçtır?

A) 60 B) 56 C) 40 D) 36 E) 20
19. Bir baba ile ikişer yıl arayla doğan iki çocuğunun yaşları toplamı 82 dir. 2 yıl sonra babanın yaşı büyük çocuğun yaşının 2 katından 2 fazla olduğuna göre, küçük çocuk kaç yaşındadır?

A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22


20. İki kardeşin bugünkü yaşları oranı 3/4 tür. 10 yıl sonra iki kardeşin yaşları oranı, 8/9 olacağına göre, kardeşlerin bugünkü yaşları toplamı kaçtır?

A) 7 B) 14 C) 21 D) 28 E) 35


21. İki kardeşten büyüğünün yaşı, küçüğünün yaşının 4 katıdır. Küçük, büyüğün yaşına geldiğinde, ikisinin yaşları toplamı 44 olacağına göre, büyük kardeş kaç yaşındadır?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24


22. n yıl önce Tolga x yaşındaydı. r yıl önce kaç yaşındaydı?

A) x+n+r B) x-n+r C) n-x+r
D) x+n-r E) x-n-r


23. Yaş ortalaması 14 olan bir gruba, her biri 23 yaşında olan 3 kişi katılıyor. Oluşan yeni grubun yaş ortalaması 17 ise ilk grup kaç kişidir?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10


24. Bir babanın yaşı, 4 çocuğunun yaşları toplamından 4 eksiktir. Çocukları yaşları toplamı 45 ise, kaç yıl önce babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katı idi?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

CEVAPLAR; 1-B, 2-C, 3-A, 4-B, 5-C, 6-A, 7-A, 8-C, 9-D, 10-B, 11-C, 12-A, 13-A

14-C, 15-D, 16-D, 17-E, 18-E, 19-C, 20-B, 21-C, 22-D, 23-A, 24-C

Roma Rakamları Nasıl Yazılır?

Roma Rakamları Nasıl Yazılır? Yazdır E-posta
romarakamtablo

Romalılar, Eski mısırlıların yıllarca önce yaptıkları gibi, önceleri bazı sembolleri tekrarlayarak sayıları tasarladılar.

Bunların nümerik değerleri şöyledir; I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Bugün de zaman zaman kullanılan bu harfler, yan yana getirilerek daha büyük sayılar oluşturulabilir. Mesala “25″,”XXV” şeklinde yazılır.

Bu sayılar yazılırken uyulması gereken bazı kurallar vardır:

  • harf, en fazla üç defa yan yana yazılabilir.
  • Bir harfin sağına, kendisinden daha küçük değerli bir harf gelirse, toplanarak okunur. XI=11 , DCX=610 , LXXVII= 77 gibi.
  • Sol tarafa yazıldığında ise çıkarılır. XC=90, IL=49, CD=400 gibi. Sadece bir harf yazılabilir.
  • Hem sağa, hem de sola daha küçük değerli harfler yazılarak farklı rakamlar yazılabilir. CMLI=951, XLVII=47, CDLV=455 gibi.

Bu rakamlarla ile yazılabilecek en büyük ve en uzun sayı “3888″ dir.(MMMDCCCLXXXVIII)

    • Çok sık olmamakla beraber daha büyük sayılara ihtiyaç hissettiklerinde harflerin değerini “1000″ kat artırmak için üzerlerine çizgi çizmişlerdir.
  • Üzerinde çizgi olan harf değerleri de şöyledir; V=5000, X=10000, L=50000, C=100000, D=500000, M=1000000

    Dört işlem yapma zorluğu sebebi ile günümüzde fazla kullanılmamaktadır. Bazı usuller geliştirilse de çok büyük sayılara sıra gelince yetersiz kalmaktadır. Ancak yine de bazı kitap sayfalarını numaralandırma, madde işaretleri, saatler gibi kullanım alanları vardır.

Asal Sayılar, Obeb-Okek - Matematik testleri



Yazdır E-posta
Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi,

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... }

dir.

Fermat Teoremi' ne göre, n asal sayı olmak üzere, 2n - 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin,

22 - 1, 23 - 1, 25 - 1, 27 - 1, 211 - 1, ...

sayıları, asal sayıdır.

Aralarında asal sayılar:

1' den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara, aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar, kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan, 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, 2 ortak bölenleri olduğu için, aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa, bu iki sayının çarpımına da bölünür.

Örneğin,• 2, 9

• 10, 81

• 5, 29

• 3, 8

• 2, 10, 35

sayı grupları, ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır.

Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir. Dolayısıyla, bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır. Örneğin, 10 sayısı bir bileşik sayıdır. Çünkü, 10 sayısının 1 ve kendisinden başka, 2 ile 5 böleni vardır. Buradan, asal olmayan 10 sayısı, birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. 2 ile 5 sayısına, 10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir. Yani, bileşik bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Örnek 1:

Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır?

a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25

Çözüm:

a) 4 ile 20' nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4' tür.

b) 6 ile 21' in ortak böleni vardır ve bu da 3' tür.

c) 27, 36 ve 39' un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3' tür.

d) 8, 24 ve 36' nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4' tür.

e) 3, 5 ve 25' in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayıyı birden bölen 1' den başka sayı yoktur. Dolayısıyla, bu sayılar aralarında asaldır.

Örnek 2:

2m + 3 ile 7n - 5 sayıları aralarında asal olduğuna göre,



ise, m ve n kaçtır?



Çözüm:

2m + 3 ile 7n - 5 aralarında asal olduklarına göre,

2m + 3 = 5

2m = 5 - 3

2m = 2

m = 1



7n - 5 = 9

7n = 9 + 5

7n = 14

n = 2

bulunur.

Örnek 3:

a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır. Buna göre, ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır?

Çözüm:

Toplamın en küçük olması için, sayıları en küçük almalıyız. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalıdır. Dolayısıyla,

ab + bc = 21 + 13 = 34

olur.

Örnek 4:

2x + y ile 4 x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre,



ise, 3x + 2y toplamı kaçtır?

Çözüm:

2x + y ile 4x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre, her ikisinin de ortak böleni olmaması gerektiğinden, eşitliğin sağ tarafı ortak bölenden arındırılmalıdır. Dolayısıyla,



olur ve buradan,

2x + y = 7 ... (1)

4x + y = 9 ... (2)

yazılır. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun için, (1) nolu denklemi - 1 ile çarpalım ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalım.

- 1 / 2x + y = 7

4x + y = 9

- 2x - y = - 7

4x + y = 9

Son iki denklemin toplamı

2x = 2

x = 1

bulunur ve x = 1 değerini (1) nolu denklemde yerine koyalım

2.1 + y = 7

y = 7 - 2

y = 5

bulunur. Buradan

3x + 2y = 3.1 + 2.5 = 3 +10 = 13

olur.

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Her bileşik sayı, asal sayıların veya asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu işlemi yapmak için, ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır.

Örnek 1:

124 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



120 = 23 . 31. 51

Örnek 2:

500 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



500 = 22 . 53

BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ



Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı,

( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )

dir. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.

Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı,

2 . ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )

dir. Yani, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.

Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı,



dir. Bu toplama, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı ise, sıfırdır.

Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı,



dir. Üssün, A nın pozitif tamsayı bölenlerinin sayısının yarısı olduğuna dikkat ediniz.

Örnek 1:

120 sayısının

a) Kaç tane pozitif böleni vardır?

b) Kaç tane tamsayı böleni vardır?

c) Pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

d) Pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır?

Çözüm:

a) 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli

120 = 23 . 31. 51

olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı

( 3 + 1) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16

dır.

b) 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre,

2 . 16 = 32

dir.

c) 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı



dir.

d) 120 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı



dir.

Örnek 2:

500 . 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa, y kaçtır?

Çözüm:

500 . 5y = 22 . 53 . 5y

= 22 . 53 + y

2 tane asal böleni olduğundan, tüm bölenlerinin sayısı,

40 + 2 = 42

dir. Buradan, pozitif bölenlerinin sayısı, tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan,

21 = ( 2 + 1 ) . ( 3 + x + 1 )

21 = 3 . ( 4 + x )

21 = 12 + 3x

3x = 21 - 12

3x = 9

x = 3

olur.

OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ)

OBEB, iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Verilen sayıların OBEB' ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır.

1. Aralarında asal iki sayının OBEB' i 1' dir. Yani, a ile b aralarında asal iki sayı ise,

(a, b)OBEB = 1 dir.

2. Aynı zamanda, ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB' i 1' dir. Yani, a, b, c, d, e sayılarından a ile b aralarında asal ise,

(a, b, c, d, e)OBEB = 1 dir.

3. İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı, OBEB' inin bölenlerinin sayısına eşittir.

4. Ardışık iki sayma sayısının OBEB' i 1' dir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere,

(a , b)OKEK = 1 dir.

Örnek 1:

18, 30, 42 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:

1. Yol:



18, 30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür. Dolayısıyla,

(18, 30, 42)OBEB = 2 . 3 = 6 dır.

2. Yol:

18 = 2.32

30 = 2.3.5

42 = 2.3.7

Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla,

(18, 30, 42)OBEB = 2.3 = 6 dır.

Örnek 2:

100 ile 120 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:

1. Yol:



100 ile 120 sayısının ikisini birden bölen sayıları 22 ile 5 dir. Dolayısıyla,

(100, 120)OBEB = 22 . 5 = 4 . 5 = 20 dir.

2. Yol:

100 = 22.52

120 = 23.3.5

Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla,

(100, 120)OBEB = 22.5 = 20 dir.

Örnek 3:

6, 15 ve 29 sayılarının OBEB' i kaçtır?

Çözüm:

İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB' i 1 olduğundan, verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için

(6, 15, 29)OBEB = 1

dir.

Örnek 4:

100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

(100, 120)OBEB = 22.51 = 20

olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı,

( 2 + 1) . ( 1 + 1 ) = 3 . 2 = 6

bulunur. Buradan, tüm bölenlerin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan,

2 . 6 = 12 olur.

Örnek 5:

Boyutları 9 cm, 12 cm, 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?

Çözüm:

Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 9 cm, 12 cm, 15 cm sayılarının OBEB' i bulunmalıdır. Bu nedenle,

(9, 12, 15)OBEB = 3 tür. Böylece, en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur. Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı,

Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 9.12.15/3.3.3 = 3.4.5 = 60

tane olur.

Örnek 6:

Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir?

Çözüm:

İki ağacın arasındaki uzaklık, dikdörtgenin boyutlarının OBEB' i olur. Dolayısıyla,

(24, 60)OBEB = 12

Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 . (24 + 60) / 12 = 84 / 6 = 14

dir.
OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ)

İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK' ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır.

1. Aralarında asal sayıların OKEK' i, bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani, a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise,

(a, b)OKEK = a . b dir.

2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki doğal sayının OBEB' i ile OKEK' inin çarpımı, bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani, a ve b doğal sayısı için

a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB dir.

3. a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere,

(a/c,b/d)OKEK = (a, b)OKEK / (c, d)OBEB dir.

4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere,

(a, b)OKEK = x ve (a, b)OBEB = y

ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri

x + y dir.

5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK' i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere,

(a, b)OKEK = a . b dir.

6. a ile b sayma sayıları olmak üzere, a <>

(a, b)OBEB <= a <= b <= (a, b)OKEK dir.

Örnek 1:

18 ile 45 sayılarının OKEK' ini bulunuz.

Çözüm:

1. Yol:

18 = 2 . 32

45 = 32 . 5

olduğundan, (18, 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur.

2. Yol:



(18, 45)OKEK = 2 . 32 . 5 = 90 dır.

Örnek 2:

a ve b doğal sayılarının OKEK' i 48 ve OBEB' i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise, diğer sayı kaçtır?

Çözüm:

a = 16 olsun. (16, b)OKEK = 48 ve (16, b)OBEB = 8 olduğuna göre,

a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB

16 . b = 48 . 8

b = 24

bulunur.

Örnek 3:

Herhangi iki doğal sayının OKEK' i 120 ve OBEB' i 8 olduğuna göre, bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?

Çözüm:

İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB' ile OKEK' inin toplamı kadar olabileceğinden,

120 + 8 = 128 dir.

Örnek 4:

Boyutları 2 cm, 4 cm, 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?

Çözüm:

Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 2 cm, 4 cm, 6 cm sayılarının OKEK' i bulunmalıdır. Bu nedenle,

(2, 4, 6)OKEK = 12 tür. Böylece, en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı,

Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36

tane olur.

Örnek 5:

a, b, c asal sayılar olmak üzere,

x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2

ise, (x, y)OBEB = ? ve (x, y)OKEK = ? bulunuz.

Çözüm:

(x, y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2

(x, y)OKEK = a5 . b3 . c5 olur.

Örnek 6:

Ayşe toplarını 2' şer 2' şer, 4' er 4' er, 6' şar 6' şar sayarsa, her defasında 1 top artıyor. Ayşe' nin en az kaç topu vardır?

Çözüm:

Top sayısı = (2, 4, 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür.

Örnek 7:

2, 3, 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır?

Çözüm:

[(2, 3, 4)OKEK] . k + 1 <= 99

24 . k + 1 <= 99

k = 4 olur. Buradan, sayı

24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97

bulunur.

Örnek 8:

İki yangın sireni 5/7, 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 04.00' de alarm verdiklerine göre, hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler?

Çözüm:

Yangın sirenleri 5/7, 7/8 sayılarının OKEK' lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla,

(5/7, 7/8)OKEK = (5, 7)OKEK / (7, 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat

sonra tekrar alarm verirler. O halde, Cumartesi günü saat 15.00' de tekrar alarm vereceklerdir.

Örnek 9:

Bir a doğal sayısı 5/3, 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre, bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır?

Çözüm:

5/3 ile 6' nın OKEK' ini bulmalıyız. Bu takdirde,

(5/3, 6)OKEK = (5, 6)OKEK / (3, 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur.

Örnek 10:

OKEK' i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur?Çözüm:

(a, b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre,

a = 7 ve b = 7

alınabilir. Bu durumda, a ile b' nin toplamının en büyük değeri

a + b = 7 + 7 = 14 ... (1)

olur. Diğer taraftan,

a = 1 ve b = 7 alınırsa, a ile b' nin toplamının en küçük değeri

a + b = 1 +7 = 8 ... (2)

olur. Buradan, (1) ile (2) nin çarpımı

14 . 8 = 112

bulunur.

Ünlü Türk Matematikciler kimdir?

Ünlü Türk Matematikciler Yazdır E-posta


http://www.aylakadam.org/wp-content/uploads/blogger/blogger/469/993/1600/tuz%20kokusu.jpg

MOLLA LÜTFİ (? - 1495) İ15. yüzyılda, Fatih Sultan Mehmet ve II. Beyazıd dönemlerinde yaşamış meşhur matematikçilerdendir. Sinan Paşa’nın ve Ali Kuşçu’nun talebesi olmuş, Ali Kuşçu’dan öğrendiği matematik bilgilerini Sinan Paşa’ya aktarmıştır. Böylece Sinan Paşa, onun vasıtasıyla matematik öğrenmiştir. Sinan Paşa’nın tavsiyesiyle, Fatih, Molla Lütfi’yi, özel kütüphanesinin müdürlüğüne getirmiştir. Molla Lütfi, bu sayede pek çok değerli kitaptan değişik bilimleri öğrenme fırsatına sahip olmuştur. Sinan Paşa, Fatih tarafından Sivrihisar’a sürülünce, Molla Lütfi de hocası ile birlikte gitmiş, Sultan II. Beyazıd’ın tahta çıkmasının ardından hocasıyla birlikte İstanbul’a dönmüştür. Önce Bursa’daki Yıldırım Beyazıd Medresesi’nde, sonra Filibe’de ve Edirne’de medrese hocalığı yapmıştır.

Molla Lütfi, çevresindeki devlet erkanına ve bilginlere latife yaparak onları eleştirdiğinden, çoğu kimse tarafından sevilmezdi. Fatih Sultan Mehmet’le bile iki arkadaş gibi şakalaşırdı. Kendisini çekemeyen bazı kimselerin, dinsizlik suçlamaları nedeniyle kovuşturmaya uğradı ve Sultan Beyazıd döneminde idam edildi. Ölümü üzerine pek çok kimse yas tutmuş, tarihler düşmüş ve şehit sayılmıştı.

Molla Lütfi’nin, çoğu Arapça olan eserleri 17. yüzyıla kadar elden düşmemiştir. Taz’ifü’l-Mezbah (Sunak Taşının İki Katının Bulunması Hakkında) adlı kitabı iki bölümden oluşur. Birinci bölümde kare ve küp tarifleri, çizgilerin ve yüzeylerin çarpımı ve iki kat yapılması gibi geometri konuları ele alınmıştır. İkinci bölümde ise meşhur Delos problemi incelenmiştir. Molla Lütfi’nin, bu problemi, İzmir’li Theon’un eserinden öğrendiği anlaşılmaktadır. İzmir’li Theon, İskenderiye kütüphanesinin müdürü Eratosthenes’e atıfla, Delos adasında büyük bir veba salgını çıkınca, ahalinin, Apollon rahibine müracaat ederek bu salgının geçmesi için ne yapmak gerektiğini sorduklarında, rahibin tapınaktaki sunak taşını iki katına çıkarmalarını tavsiye ettiğini, böylece kolaylıkla çözülemeyecek bir matematik problemi ortaya çıkmış olduğunu yazar. Mimarlar bu işi başaramıyınca, Platon’un yardımını isterler. Platon, rahibin sunak taşına ihtiyacı olduğundan değil, Yunanlılara matematiği ihmal ettiklerini ve küçümsediklerini söyleme maksadında olduğunu bildirdikten sonra, problemlerin orta orantı ile çözüleceğini ifade etmiştir. Molla Lütfi, işte bu hikayeye dayanarak eserini yazmıştır. Kitabında, küpün iki kat yapılmasının, yanına başka bir küp ilave etmek demek olmayıp, onu sekiz defa büyütmek demek olduğunu açıklar. Molla Lütfi Mevzuatü’l Ulüm (Bilimlerin Konuları) adlı eserinde de yüz kadar bilimi tasnif etmiştir.İlk doktoralı matematikçimiz . İstanbul Yüksek Mühendis mektebi'ni bitirdikten (1914) sonra Berlin Üniversitesi'nde Albert Einstein'in yanında doktorasını yaptı (1919). Türkiye'ye dönünce, bitirdiği okulda öğretim ü-yesi olarak çalışmaya başladı. Üniversite reformunu hazırlayan kurulda yer aldı. Yeni kurulan İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde analiz profesörü ve dekan olduğu gibi Yüksek Mühendis Mektebi'nde de ders vermeye devam etti. Yüksek Mühendis Mektebi İstanbul Teknik Üniversitesi'ne dönüştürülünce buradan ayrıldı ve yalnızca İstanbul Üniversitesi'nde çalış-maya devam etti. Daha sonra burada ordinaryüs profesör oldu. 1948 yılında Fen Fakültesi Dekanlığı'na getirildi.
Kerim ERİM - (1894 - 1952)1940 - 1952 yılları arasında İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'ne bağlı Matematik Enstitüsü-'nün başkanlığını yaptı. Türkiye'de yüksek matematik öğretiminin yaygınlaşmasında ve çağ-daş matematiğin yerleşmesinde etkin rol oynadı. Mekaniğin matematik esaslara dayandırıl-masına da öncülük etti. Matematik ve fizik bilimlerinin felsefe ile olan ilişkileri üzerinde de çalışmalarda bulunan Erim'in Almanca ve Türkçe yapıtları bulunmaktadır.Bunlardan bazıları şunlardır:

Nazari Hesap(1931), Mihanik(1934), Diferansiyel ve İntegral Hesap(1945), Über
SELMAN AKBULUT
Prof. Dr. Selman Akbulut, 1971 yılında California Üniversitesi (Berkeley) Matematik Bölümü'nden mezun olmuştur. Prof. Dr. Akbulut, 1975 yılında aynı üniversitede doktora eğitimini tamamlayarak, 1976 yılında Wisconsin Üniversitesi'nde yardımcı doçent olarak göreve başlamıştır.

1978 - 1980 yılları arasında Rutgens Üniversitesi'nde, 1980 - 1981 yıllarında Michigan State Üniversitesi'nde Yardımcı Doçent; 1983 - 1986 yılları arasında aynı üniversitede Doçent olarak çalışmalarda bulunan Prof. Dr. Akbulut 1986 yılında profesörlüğe yükselmiştir ve halen Michigan State Üniversitesi'nde görev yapmaktadır.

Prof. Dr. Akbulut, 1975 - 1976, 1980 - 1981 yıllarında Advanced Study Institute'da, 1982 - 1983 yıllarında Max - Planck Enstitüsü ve 1984 - 1985 yıllarında California Üniversitesi, Mathematical Sciences Research Institute'de çalışmalarda bulunmuştur.

Prof. Dr. Akbulut, Türk Matematik Derneği, Amerikan Matematik Derneği ve Doğa - Türk Matematik Dergisi Editörler Kurulu'na üyedir.

Prof. Dr. Selman Akbulut'un Uluslararası Science Citation Index'ce taranan hakemli dergilerde çıkmış 29 yayını vardır ve bu yayınlara 1991 yılı sonu itibariyle 239 atıf yapılmıştır.
HAREZMİ Horasan bölgesinde bulunan harezm(bugünkü Türkmenistan'ın Khiva )şehrinde dünyaya gelen Harezmi'nin tam adı Abdullah bin Musa el-Harezmi'dir. Harezm'de temel eğitimimini alan Harezmi gençlinin ilk yıllarında Bağdat'taki ileri bilim atmosferinin varlığını öğrenir. İlmi konulara doyumsuz denilebilecek seviyedeki bir aşkla bağlı olan Harezmi ilmi konularda çalışma idealini gerçekleştirmek için Bağdat'a gelir ve yerleşir. Devrinde bilginleri himayesi ile meşhur olan abbasi halifesi Mem'un Harezmideki ilm kabliyetten haberdar olunca onu kendisi tarafından Eski Mısır, Mezopotamya, Grek ve Eski hint medeniyetlerine ait eserlerle zenginleştirilmiş Bağdat Saray Kütüphanesinin idaresinde görevlendirilir. Daha sonra da Bağdat Saray Kütüphanesindeki yabancı eserlerin tercümesini yapmak amaıyla kurulan bir tercüme akademisi olan Beyt'ül Hikme 'de görevlendirilir. Böylece Harezmi Bağdat'ta inceleme ve araştırma yapabilmek için gerekli bütün maddi ve manevi imkanlara kavuşur. Burada hayata ait bütün endişelerden uzak olarak matematik ve astronomi ile ilgiliaraştırmalarına başlar. Bağdat bilim atmosferi içerisinde kısa zamanda üne kavuşan Harezmi Şam'da bulunan Kasiyun Rasathanesin'de çalışan bilim heyetinde ve yerkürenin bir derecelik meridyen yayı uzunluğunu ölçmek için Sincar Ovasına giden bilim heyetinde bulunduğu gibi Hint matematiğini incelemek için Afganistan üzerinden Hindistana giden bilim heyetine başkanlık da etmiştir. Harezmi 'nin latinceye çevrilen eserlerinden olan ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümlerini inceleyen El-Kitab 'ul Muhtasar fi 'l Hesab 'il cebri ve 'l Mukabele adlı eseri şu cümleyle başlar : "Algoritmi şöyle diyor: Rabbimiz ve koruyucumuz olan Allah 'a hamd ve senalar olsun" Eserleri:

Matematik İle İlgili Eserleri
1)El-Kitab'ul Muhtasar fi'l Hesab'il Cebri ve'l Mukabele
2) Kitab al-Muhtasar fil Hisab el-Hind
3) el-Mesahat


SALİH ZEKİ

(1864 - 1921)
XIX. yüzyılın ikinci yarısında yetişmiş, değerli eserler vererek, 57 yaşında hayata gözlerini kapamış, bir ilim ve fikir adamıdır. Salih Zeki Bey, 1864 yılında İstanbul'da doğmuştur. Ortaöğrenimini Darüşşafaka'da görmüş, yüksek öğrenimini Paris'te elektirk mühendisliği bölümünü bitirmiştir.
Salih Zeki, Darüşşafaka ve Mühendis Mektebi'nde matematik ve fizik dersleri okutmuştur. Daha sonraki çalışmalarının tümünü üniversiteye vermiştir. Bugünkü gerçek üniversitenin kurucusu salih Zeki'dir. Türkiye'ye, matematik, fizik ve fen derslerini batılı yöntemleriyle ilk getiren odur. Birçok gazete ve dergide çıkan güzel yazılarıyla Türk gençliğini edebiyat kadar matematiğe yönelten ve matematiği sevdiren yine o olmuştur.
Salih Zeki, aydın fenciler silsilesinin en dikkate değer son halkasıdır. İlk ve ortaöğrenimin ihtiyacı olan matematik, geometri, cebir, astronomi, trigonometri ve fizik kitaplarından başka binlerce sahifeyi bulan, yüksek seviyedeki Darülfünun ders kitapları yazmış; felsefi konularda telif-tercüme eserler bırakmış, bilim tarihi ile ilgili incelemeler yayınlamış, bizzat Mizan-ı Tefekkür adlı bir matematik kitabı yazmış, anıt bir eser olarak Kamus-ı Riyaziyat'ı hazırlayarak bunun ilk cildini yayınlamıştır
ULUĞ BEY (1393 - 1449)Türk matematikçilerinden birisi olan Uluğ Bey, Timur'un erkek torunlarından hükümdar olanlardan birinin oğludur. Asıl adı Mehmet'tir. Fakat o, daha çok Uluğ Bey adı ile ünlü olmuştur. 1393 yılında Sultaniye kentinde doğmuştur. Timur'un öldüğü sıralarda Uluğ Bey Semerkant'ta bulunuyordu. Semerkant ve Maveraünnehir, Mirza Halil Sultan'ın saldırısı ve işgali üzerine babasının yanına gitmek zorunda kalmıştır. Babası buraları yeniden yönetimine alarak on altı yaşında olan Uluğ Bey'e yönetimini bırakmıştır. Uluğ Bey, bu tarihten sonra, hem hükümeti yönetmiş ve hem de öğrenimine devam etmiştir.

Uluğ Bey, bilgin ve olgun bir padişahtı. Boş zamanını kitap okumak ve bilginlerle ilmi konular üzerinde konuşmakla geçirirdi. Tüm bilginleri yöresinde toplamıştı. Uluğ Bey, dikkatlice okuduğu kitabı kelimesi kelimesine hatırında tutacak kadar belleği vardı. Matematik ve astronomi bilgileri oldukça ileri düzeydeydi. Bir söylentiye göre, kendi falına bakarak, oğlu Abdüllatif tarafından öldürüleceğini görmüş ve bunun üzerine oğlunu kendisinden uzak tutmayı uygun görmüştür. Baba ile oğlu arasındaki bu soğukluk, Uluğ Bey'in küçük oğluna karşı olan yakınlığı ile daha da şiddetlenmiş ve sonunda Uluğ Bey'in korktuğu başına gelmiştir.

Uluğ Bey, Semerkant'ta bir medrese ve bir de rasathane yaptırmıştır. Kadı Zade bu medreseye başkanlık etmiştir. Rasathane için yörede bulunan tüm mühendis, alim ve ustaları Semerkant'a çağırmıştır. Kendisi için de bu rasathanede bir oda yaptırarak tüm duvar ve tavanları gök cisimlerinin manzaralarıyla ve resimleriyle süsletmişti. Rasathanenin yapım ve rasat aletleri için hiç bir harcamadan kaçınmamıştır. Bu gözlemevinde yapılan gözlemler, ancak on iki yılda bitirilebilmiştir.

Gözlemevinin yönetimini Kadı Zade ile Cemşid'e vermiştir. Cemşid, gözlemlere başlandığı sırada ve Kadı Zade de gözlemler bitmeden ölmüştür. Gözlemevinin tüm işleri o zaman genç olan Ali Kuşçu'ya kalmıştır. Bu gözlem üzerine Uluğ Bey, ünlü Zeycini düzenlemiş vebitirmiştir. Zeyç Kürkani veya Zeyç Cedit Sultani adı verilen bu eser, birkaç yüzyıl doğuda ve batıda faydalanılacak bir eser olmuştur. Zeyç Kürkani bazı kimseler tarafından açıklanmış ve Zeyç'in iki makalesi 1650 yılında Londra'da ilk olarak basılmıştır. Avrupa dillerinin birçoğuna, çevrilmiştir. 1839 yılında cetvelleri Fransızca tercümeleriyle birlikte, asıl eser de 1846 yılında aynen basılmıştır.
Zeyç Kürkani'nin asıl kopyalarından biri Irak ve İran savaşlarından sonra Türkiye'ye getirilmiş ve halen Ayasofya kütüphanesindedir. Bir hile ile oğlu Abdüllatif tarafından 1449 yılında öldürülmüştür.
ÖMER HAYYAMDoğum: 18 Mayıs 1048, İran - Ölüm: 4 Aralık 1131, İran

Ömer Hayyam, son derece karışık politik yapıya sahip bir bölgede yaşamıştır. 1038-1040 yılları arasında, Selçuklular Mezopotamya, Suriya, Filistin ve İran’ın büyük bölümünü de kapsayan bir coğrafyaya hakim olmuşlardı. 1055 yılında Selçuklu hükümdarı Tuğrul Bey Bağdat’ı da ele geçirmişti. Hayyam’ın gençliği, Selçuklu egemenliğindeki topraklarda geçmiştir.

Hayyam, gençlik yıllarında felsefe öğrenimi görmüştür. Bu yıllarda edebiyatla da ilgilenmeye başlamıştır. Hayyam bir dönem şiir de yazmıştır. Ancak Hayyam’ın en başarılı olduğu alan matematik ve astronomidir. Hayyam, yaşadığı bölge itibarıyla, eğitimin çok zor olduğu bir ortamda büyümüştür. Bu konuda, Cebir problemlerinin ispatı üzerine adlı eserinin girişinde eğitim yıllarının çok zor geçtiğini anlatmıştır.

Hayyam, sıradışı bir matematikçiydi. Çok üstün bir zekası vardı. 25 yaşından önce Aritmetik problemleri adlı eseri de dahil olmak üzere bir çok eser yazmıştır. 1070 yılında Orta Asya’daki en eski şehirlerden biri olan Samarkand’a yerleşmiştir. Samarkand’ın önemli hukukçularından Abu Tahir, kendisini desteklemiş ve ünlü eseri Cebir problemlerinin ispatı üzerine adlı çalışmasında kendisine yardımcı olmuştur.

Selçuklu’ların kurucusu Tuğrul Bey, Eshafan şehrini, imparatorluğun başkenti yapmış ve 1073 yılında da torunu Malik Şah’ı Eshafan şehrinin yönetmek üzere görevlendirmiştir. Malik Şah, Hayyam’ı Eshafan’a davet ederek orada bir gözlemevi açmasını istemiştir. Hayyam bu isteği kabul etmiş ve gözlemevini kurmuştur. Bu gözlemevinde sonraki 18 yıl çalışmış ve bilim adamlarına başkanlık etmiştir. Bu yıllarda Hayyam çok önemli gözlemler yapmış ve astronomi tabloları çıkarmıştır.

http://www.aqkopruk.4t.com/Edebiyat/babur.jpg

Hayyam, Eshafan’da yaptığı gözlemlerin sonucunda bir yılı, 365,24219858156 gün olarak ölçmüştür. Bu ölçüm neredeyse tam olarak kesin doğru bir ölçüm kabul edilebilir. Aynı zamanda bu ölçüm, o ana dek yapılan en doğru ölçüm olma özelliğini de taşımaktadır.

1092 yılında başgösteren olaylar, Hayyam’ın bilimsel çalışmalarını ve sakin yaşamını bozmuştur. 1092’de Malik Şah ölmüş ve veziri Nizam al-mulk öldürülmüştür. Bu olaylar sonucu yönetimi iki yıl, Malik Şah’ın ikinci karısı sürdürmüş ancak bu dönem bir çok kargaşaya sebep olmuştur. Bu yıllarda, ortodoks Müslümanlar tarafından Hayyam’ın çalışmaları sürekli engellenmiştir ve Hayyam, birkaç defa saldırıya uğramıştır. Bu olumsuz duruma karşın Hayyam, bilimsel çalışmalarını 1118 yılına kadar Eshafan’da sürdürmüştür.

1118 yılında Malik Şah’ın üçüncü oğlu Sanjar Selçuklu hükümdarı olmuştur. Bu dönemde Hayyam’ın Eshafan’dan ayrıldığı ve Selçuklu’ların yeni başkenti olan Türkmenistan’daki Merv şehrine yerleştiği bilinmektedir.

Hayyam’ın en önemli cebir çalışması, Cebir problemlerinin ispatı üzerine adlı eserden önce yazdığı cebir notlarında kübik denklemlerin (üçüncü derece denklemlerin) çözümünü göstermiştir.

Hayyam’ın en önemli eseri, yukarıda da belirtildiği üzere, Cebir problemlerinin ispatı üzerine adlı çalışmasıdır. Bu çalışmasında, üçüncü derece denklemlerin çözümünü, kesişen konik parçalarını kullanarak yapmıştır. Hayyam, konik parçaları kullanarak, üçüncü derece denklemlerin çözümü için yöntem geliştiren ilk matematikçidir.

Hayyam, üçüncü derece denklemlerin birden fazla çözümü, yani kökü olabileceğini söylemiştir. Bazı denklemlerin iki kökünü bulsa da üç kökünü birden bulamamıştır.

Hayyam’ın kaybolan eserlerinden birinde Pascal üçgenini de incelediği düşünülmektedir. Ancak Pascal üçgenini ilk inceleyen matemtikçi, Hayyam değildir. Al-Karaji’nin bu konuda bir çalışması önceki dönemlerde olmuştur.CAHİT ARFCahit Arf 1910 yılında Osmanlı İmpratorluğu sınırları içerisindeki Thessalonikide doğdu. Doğumundan iki yıl sonra Balkan savaşları başladı. Savaşdan dolayı Arf''ın ailesi İstanbul'a taşındı. Ve 4 yaşındayken İstanbul'da okula başladı.Kendisi o günleri şöyle dile getirir: " Okulda diğer çocuklarla oyun oynayamadım çünkü üzgündüm. Sonra eğitimime Beşiktaş Sultanişi'nde devam ettim. Yangından sonra Beşiktaşı terkettik ve başka bir yere gittik. Sonunda Sülaymaniye'de bir ev kiraladık. Sonra stanbul Sultanişine kaydımı aldırdım. Aynı şey ordada oldu. Ailem beni beni oradan almadı ve okul iyi gidiyordu. " 1919 yılında Arf'ın ailesi yine taşındı, bu sefer Ankara'ya, fakat bir süre sonra İzmir'e kalıcı olarak yerleşmeden önce kısa bir süreliğine İstanbul'a tekrar döndüler. Cahit Arf'ın matematiğe ilgisi İzmir'de okuduğu yıllarda hocasının Euclid Geometrisi problemlerini çözmede onu teşvik etmesiyle başlamıştır. 1926 ailesi Cahit Arf''ı okuması için Fransa'ya gönderdi. " Beni anlamın arkadaşlarıyla yaşamam için Fransa'ya gönderdiler. Orada St. Louis Lycee kayıt yaptırdım. Fazla Fransızca bilmiyordum sadece okulda konuşulan kadar... Matematik sınavından en iyi dereceleri ben alıyordum bu yüzden üç yıllık Lycee yı iki yıl içinde bitirdim fakat sonra babamın frankları bitmeye başlamıştı, ve Türkiye'ye geri dönmek zorunda kaldım. " Arf eğitimine Paris'te devam edebilmek için burs kazandı ve Fransa'ya geri döndü. İki yıl sonra Ecole Normale Superiure'yi bitirdi. Cahit Arf doktorasını tamamlamak için İstanbul'a öğretmen olarak geri döndü. Ardından İstanbul Üniversitesi Matematik Bölümüne kabul edildi. Ve matematik çalışmalarına devam etme kararı aldı. 1937 de Helmut Hasse' nin denetiminde doktorasın yapmak için Göttingen Üniversitesine gitti. 1938 de doktora çalışmasını bitirdi. Arf Almanya'dan döndüğü İstanbul Üniversite'sinde 1962 yılına kadar çalıştı. 1943 yılında profesörlüğe yükseldi ve 1955 te ise Ordinaryus Profesör ünvanını aldı.1963 yılında İstanbul'daki Robert Kollejinde öğretmenlik yaptı. 1964-1966 yılları arasında Birleşik Amerika'da Princeton enstitüsünde yüksek çalışmalar yaptı ve 1967 'de geri döndü. Ve Orta Doğu Teknik Üniversitesine katıldı. 1980 'de emekliye ayrıldıktan sonra İstanbul'da yaşadı. Cahit Arf bilimsel ve teknik araştırmaların Turkiye'deki merkezi olan TÜBİTAK'ın kurulmasında belirgin bir rol oynadı. 1985 1989 yılları arasında Türk Matematik Derneği başkanlığını yaptı. Arf, matematiğe yepyeni çalışmaları ile yaptığı katkıları dolayısıyla birçok ödül almıştır ve kariyerinde en çok ayırt edici olan ödül ise İnönü ödülüdür. Bu şekilde Karadeniz Teknik Üniversitesi, Ortadoğu Teknik Üniversitesi ve İstanbul Teknik Üniversitesinden birçok onursal doktoralık almıştır. Arf, Türkiye'de günümüz matematikçilerinin birçoğunun eğitimine yalnızca ders notları ile değil aynı zamanda konferans ve seminerlerindeki parlak tartışmaları ile de katkıda bulunmuştur. Arf ile yakın temas kurma olanağına sahip olanlar onun matematiğe ve genelde bilime olan bağlılığından derin etkilenmişlerdir. Özellikle genç matematikçilere yardım etmiş ve onlara güzel tavsiyeler vererek bol bol cesaretlendirmiştir. Arf'ın en önemli çalışmalarının birçoğu cebrik sayılar teorisi üzerineydi ve o topolojide birçok uygulama bulan Arf invaryantlarını keşfetmiştir. Onun ilk çalışması özellikle karakteristiği 2 olan cisimlerde quadratik formlara ilişkindi. O, yalnızca kendi keşfi olan Arf invaryantları ile tanınmamakta hatta bir cebirsel geometri uygulaması olan Hasse-Arf teoremi ile de hatırlanmaktadır. Halka teorisinde de Arf halkaları kendi adıyla anılmaktadır. Arf çalışmalarına ek olarak uygulamalı matematikte serbest sınırlar ile sınırlandırılmış elastik düzlem yüzeyler üzerine birkaç makale ve istatiksel mekanikte küme genişlemelerinin cebrik yapılarına ilişkin bir makale yazmıştır. Cebir ve Sayılar Teorisi üzerine uluslararası bir sempozyum 1990'da 3 ve 7 Eylül tarihleri arasında Arf'in onuruna Silivri'de gerçekleştirilmiştir. Halkalar ve Geometri üzerine ilk konferanslarda 1984'te İstanbul'da yapılmıştır. Arf, matematikte geometri kavramı üzerine bir makale sunmuştur. O, bir kalp rahatsızlığı ile bu dünyaya gözlerini yummuş ve İstanbul'da defnedilerek İstanbul üniversitesinde bir tören düzenlenmiştir.
Ali KUŞCUTürk-İslam Dünyası astronomi ve matematik alimleri arasında, ortaya koyduğu eserleriyle haklı bir şöhrete sahip Ali Kuşçu, Osmanlı Türkleri'nde, astronominin önde gelen bilgini sayılır. "Batı ve Doğu Bilim dünyası onu 15. yüzyılda yetişen müstesna bir alim olarak tanır." Öyle ki; müsteşrik W .Barlhold, Ali Kuşcu'yu "On Beşinci Yüzyıl Batlamyos'u" olarak adlandırmıştır. Babası, Uluğ Bey'in kuşcu başısı (doğancıbaşı) idi. Kuşçu soyadı babasından gelmektedir. Asıl adı Ali Bin Muhammet'tir. Doğum yeri Maveraünnehir bölgesi olduğu ileri sürülmüşse de, adı geçen bölgenin hangi şehrinde ve hangi yılda doğduğu kesinlikle bilinmektedir. Ancak doğum şehri Semerkant, doğum yılının ise 15. yüzyılın ilk dörtte biri içerisinde olduğu kabul edilmektedir. 16 Aralık 1474 (h. 7 Şaban 879) tarihinde İstanbul'da ölmüş olup, mezarı Eyüp Sultan Türbesi hareminde bulunmaktadır. Ölüm tarihi; torunu meşhur astronom Mirim Çelebi'nin (ölümü, Edirne 1525) Fransça yazdığı bir eserin incelenmesi sonucu anlaşılmıştır. Mezar yerinin 1819 yılına kadar belirli olduğu ve hüsn-ü muhafazasının yapıldığı; ancak 1819 yılından sonra, Ali Kuşcu'ya ait mezarın yerine, zamanının nüfuzlu bir devlet adamının mezar taşının konmuş olduğu anlaşılmaktadır.
Uluğ Bey'in Horasan ve Maveraünnehir hükümdarlığı sırasında, Semerkant'ta ilk ve dini öğrenimini tamamlamıştır. Küçük yaşta iken astronomi ve matematiğe geniş ilgi duymuştur. Devrinin en büyük bilginlerinden; Uluğ Bey , Bursalı Kadızade Rumi, Gıyaseddün Cemşid ve Mu'in al-Din el-Kaşi'den astronomi ve matematik dersi almıştır. Önce,Uluğ Bey, tarafından 1421 yılında kurulan Semerkant Rasathanesi ilk müdürü, Gıyaseddün Cemşid'in, kısa süre sonra da Rasathanenin ikinci müdürü Kadızade Rumi'nin ölümü üzerine, Uluğ Bey Rasathaneye müdür olarak Ali Kuşcu'yu görevlendirmiştir. Uluğ Bey Ziyc'inin tamamlanmasında büyük emeği geçmiştir. Nasirüddün Tusi'nin Tecrid-ül Kelam adlı eserine yazdığı şerh, bu konuda da gayret ve başarısının en güzel delilini teşkil etmektedir. Ebu Said Han'a ithaf edilen bu şerh, Ali Kuşcu'nun ilk şöhretinin duyulmasına neden olmuştur.
Kaynakların değerlendirilmesi sonucu anlaşılmaktadır ki; Ali Kuşcu yalnız telih eseriyle değil, talim ve irşadıyle devrini aşan bir bilgin olarak tanınmaktadır. Öyle ki; telif eserlerinin dışında, torunu Mirim Çelebi, Hoca Sinan Paşa ve Molla Lütfi (Sarı Lütfi) gibi astronomların da yetişmesine sebep olmuştur. Bu bilginlerle beraber, Ali Kuşcu'yu eski astronominin en büyük bilginlerinden birisi olarak belirtebiliriz.

ESERLERİ:
Ali Kuşcu'nun özellikle, matematik ve astronomi ile ilgili eserleri, gerçek ilmi kişiliğini ortaya koymaktadır. Bu eserlerinin adları şunlardır;
Risale-i fi'l Hey'e (Astronomi Risalesi)
Risale-i fi'l Fehiye (Fetih Risalesi)
Risale-i Hisap (Aritmetik Risalesi)
Risale-i Muhammediye (Cebir ve Hesap konularından bahseder)
Tecrid'ül Kelam (Sözün Tecridi)
Risale-i Adudiye
Unkud-üz zvehir fi Man-ül Cevahir (Mücevherlerin Dizilmesinde Görülen Salkım)
Vaaz
İstiarad
AHMET FERGANİ9. yüzyılın başlarında dünyaya geldiği kabul edilen ünlü matematik ve astronomi bilgini Ahmet Ferganî, çağının bilim ve kültür merkezlerinden olan Türkistan'ın Fergana bölgesindendir. Bilim ve kültür tarihimizin birinci elden kaynakları olan tezkireler (biyografik eserler)de doğum tarihi ile ilgili bir bilgi bulunmamakla birlikte kendisi gibi bir astronom olan babasının adının Muhammed, dedesinin ise Kesir olduğu kayıtlıdır.
Ahmet Ferganî, ilk öğrenimini ünlü bilginlerin yetiştiği Fergana'da yaptı ve büyük bir ihtimalle astronomi konusundaki bilgilerini babasından aldı. Belli bir seviyeye geldikten sonra da mevcut bilgilerine yeni bilgiler katmak amacıyla da, çağının bilim, kültür ve aynı zamanda halifelik merkezi olan Bağdat'a geldi. Ömrünün yarısına yakınını burada geçiren Ferganî, kısa sürede matematik ve astronomi konularındaki bilgisini Bağdat bilim çevresine kabul ettirip, bilimin gelişmesine olan katkılarıyla bilim tarihinde adlarından övgüyle bahsedilen Abbasi halifelerinden Me'mun ve el-mütevekkil döneminin en ünlü bilginleri arasına girdi
861 yılında halife el-Mütevekkil tarafından Nil ırmağı kıyısında yapılan ölçüm işlerini yürütmesi için Mısır'a gönderilen Ferganî'nin, bundan sonraki yaşamı bilinmiyor.

I. Dereceden Denklemler Testleri ve Cevapları



Yazdır E-posta
1. Hangi sayının 4/7 si ile 2/5 inin farkı 12 dir?



A) 35 B) 70 C) 105 D) 140 E) 175




2. Bir sayının 2 fazlasının karekökünün üçte birinin yarısı alındığında 5 bulunuyor. Bu sayının 12 fazlası kaçtır?



A) 886 B) 898 C) 910 D) 1000 E) 1010

3. 1/(x+1) + 2/(x+2) - 3/(x-1) - 4/(x-2) = 7 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?



A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2




4. (2-x)/(0,18) = 0,3/0,009 ise x kaçtır?



A) -9 B) -5 C) -4 D) -3 E) 3




5. (x+2)/(3) + (x-5)/(6) = (2x-3)/(4) + 15 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



A) Boş Küme B) R C) {0} D) {2} E) {5}




6. (3/x) + 2y = 6a

(3/y) + 2x = 3a ise y/x kaçtır?



A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 4




7. (0,04x/7) = (0,0018/0,21) ise x kaçtır?



A) 1/12 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/3 E) 3/2
8. (2/a) - (1/b) = 1/2

(4/b) + (1/c) = 2/3

(2/c) + (1/a) = 3/4

a*b + a*c + b*c = 23 sistemine göre a*b*c kaçtır?



A) 26 B) 27 C) 31 D) 34 E) 36




9. (a+2b)/4a = 5/4

7 - (6b/2a) = c ise, c değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?



A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6




10. 2x - 3y = 4

x + 2y = 9 sistemini doğrulayan (x,y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?



A) (1,-1) B) (3,3) C) (5,2)

D) (7,1) E) (7,3)




11. (1/x) + (3/y) = 13

(2/x) - (1/y) = 19 sistemini sağlayan y aşağıdakilerden hangisidir?



A) 1 B) 5/7 C) 7 D) 10 E) 13




12. x,y,z Reel sayı olmak üzere;

2x + y - 3z = 2

2x + y + 9z = 8

4x + 5y + 6z = 16 sistemini sağlayan y aşağıdakilerden hangisidir?



A) 1/2 B) 1 C) 1/3 D) 2 E) 3/2
13. a - b + c = 5

b + c - a = 7

d + c = 6 ise d kaçtır?



A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) -2




14. Bir memur maaşının yarısını ev kirasına, kalan parasının 1/5 ini de telefon elektrik ve su parası olarak ödemiştir. 6 milyon da kooperatif borcu ödenince paranın 3/4 ü harcanmış oluyor. Bu memurun maaşı kaç milyon liradır?



A) 30 B) 34 C) 36 D) 40 E) 48




15. 2(x-3) - 3(2-x) + 8 = 5x - 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?



A) Boş küme B) R C) {0} D) {2} E) {3}




16. x,y,z pozitif tamsayı olmak üzere;

x*y = 2 , y*z = 4 , x*z = 8 ise x+y+z kaçtır?



A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8




17. ise x kaçtır?



A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2




18. ise x kaçtır?



A) 6/7 B) 1 C) 6/5 D) 17/6 E) 6




19. x - [(x+3)/2] <> aşağıdakilerden hangisidir?



A) (-,5) B) (5,) C) (7,)

D) (-,7) E) (-,1/2)


20. Bir manav kilosunu 100.000 liraya aldığı 120 kg patatesin yarısını 180.000 liradan, diğer yarısını da 80.000 liradan satıyor. Bu satış sonucu manav % kaç kar etmiştir?



A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50




21. Bir sepetteki çiçekler 15 er 15 er demetlenirse 10 çiçek, 18 er 18 er demetlenirse 13 çiçek artıyor. Sepette en az kaç çiçek vardır?



A) 35 B) 45 C) 55 D) 75 E) 85




22. Bir sınıftaki öğrencilerin 1/4 ü kızdır. 4 kız sınıftan çıkınca geriye kalan kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı 1/5 oluyor. Sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı kaçtır?



A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35




23. Ahmet Selim'e 10 bilye verirse, Selim'in bilyeleri, Ahmet'in bilyelerinin yarısı kadar oluyor. Selim Ahmet'e 10 bilye verirse, Ahmet'in bilyesi, Selim'in bilyelerinin 5 katı oluyor. Selim'in kaç bilyesi vardır?



A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 90




24. Bir kampta 24 kişiye 75 gün yetecek kadar yiyecek vardır. Bu kamptan kaç kişi ayrılırsa geriye kalanlara bu yiyecek 120 gün yeter?



A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9




25. Bir otomobil km de 3000 liralık benzin harcarken, benzine yapılan zamdan sonra 80 km de 256800 liralık benzin kullanmaktadır. Benzine yapılan zam oranı yüzde kaçtır?



A) 6,6 B) 6,8 C) 7 D) 7,1 E) 7,2




26. Dört kişi 6 milyon liraya öğle yemeği yiyorlar. Birinci kişi, diğer üçünün ödediğinin yarısını ödüyor. İkinci kişi diğer üçünün ödediğinin üçte birini ödüyor. Üçüncü de diğer üçünün ödediğinin dörtte birini ödüyor. Buna göre dördüncünün ödediği miktar kaç milyondur?



A) 1 B) 1,2 C) 1,3 D) 1,4 E) 1,5

CEVAPLAR;

1-B, 2-C, 3-C, 4-C, 5-A, 6-D, 7-E, 8-E, 9-A, 10-C, 11-A, 12-D, 13-B, 14-D,

15-B, 16-D, 17-B, 18-A, 19-D, 20-A, 21-E, 22-B, 23-E, 24-E, 25-A, 26-C